Izračun sedanje in prihodnje vrednosti anuitet

V nekem trenutku svojega življenja boste morda morali v določenem obdobju opraviti vrsto fiksnih plačil - na primer plačila najemnine ali avtomobila - ali pa ste v določenem obdobju prejeli vrsto plačil, na primer obresti iz obveznic oz. CD-ji. Temu pravimo anuiteti (bolj splošna uporaba besede - ne smemo je zamenjati s finančnim produktom, imenovanim renta, čeprav sta povezani). Če razumete časovno vrednost denarja, ste pripravljeni spoznati rente in kako se izračunata njihova sedanja in prihodnja vrednost.

Kaj so anuitete?

Anuitete so v bistvu niz fiksnih plačil, ki jih potrebujete od vas ali se vam plačujejo z določeno pogostostjo v določenem časovnem obdobju. Pogostosti plačil so lahko letne, polletne (dvakrat letno), četrtletne in mesečne. Obstajata dve osnovni vrsti rente: navadne rente in zapadle rente.

• Navadna renta: Plačila so potrebna na koncu vsakega obdobja. Na primer, ravne obveznice običajno plačujejo s kuponom ob koncu vsakih šestih mesecev do datuma zapadlosti obveznice.
• Dolgovana renta: Plačila so potrebna na začetku vsakega obdobja. Najemnina je primer zapadle rente. Običajno morate plačevati najemnino, ko se prvič prinesete v začetku meseca, nato pa prvi v vsakem mesecu zatem.

Ker so sedanji in prihodnji izračuni vrednosti za običajne rente in zapadle rente nekoliko drugačni, jih bomo obravnavali ločeno.

Navadne obletnice

Izračun bodoče vrednosti

Če veste, koliko lahko vložite na obdobje za določeno časovno obdobje, je prihodnja vrednost (FV) navadne formule rente koristna za ugotovitev, koliko bi imeli v prihodnosti. Če plačujete posojilo, je prihodnja vrednost koristna pri določanju skupnih stroškov posojila. Če veste, koliko nameravate vsako leto vložiti in določiti fiksno donosnost vaših anuitetnih garancij - ali, za posojila, znesek plačil in dano obrestno mero -, lahko preprosto določite vrednost vašega računa na kateri koli točki prihodnost.

Poglejmo naslednji primer. Razmislite o naslednjem načrtu denarnih tokov z anuiteto:

Za izračun prihodnje vrednosti rente moramo izračunati prihodnjo vrednost vsakega denarnega toka. Predpostavimo, da v naslednjih petih letih prejemate 1.000 dolarjev vsako leto in vsako plačilo vložite po 5% obresti. Naslednji diagram prikazuje, koliko bi imeli na koncu petletnega obdobja:

Ker moramo sešteti prihodnjo vrednost vsakega plačila, ste morda opazili, da če boste imeli navadno renta z veliko denarnimi tokovi, bi trajalo dolgo, da bi izračunali vse bodoče vrednosti in jih nato sešteli. Na srečo matematika ponuja formulo, ki služi kot bližnjica za iskanje skupne vrednosti vseh denarnih tokov, prejetih iz navadne rente:

FVO redna anuiteta = C × [(1 + i) n − 1i] kjer: C = Denarni tok na periodi = Obrestna mera = Število plačil \ začne {poravnano} & \ besedilo {FV} _ {\ besedilo {Navadno ~ Annuity }} = \ besedilo {C} \ krat \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {kjer:} \\ & \ besedilo {C} = \ besedilo {Denarni tok na obdobje} \\ & i = \ besedilo {Obrestna mera} \\ & n = \ besedilo {Število plačil} \\ \ konec {poravnano} FVO redna anuiteta = C × [i (1 + i) n − 1] pri čemer je: C = denarni tok na periodi = obrestna mera = število plačil

Z zgornjo formulo za zgornji primer 1 je to rezultat:

FVOredarna anuiteta = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] = 1000 × × 5, 53] \ začeti {poravnano} \ besedilo {FV} _ {\ besedilo {Navadno ~ letnost}} & = \ $ 1000 \ krat \ levo [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ desno] \\ & = \ $ 1000 \ krat [5.53] \\ & = \ 5525.63 \ konec {poravnano} FVOrdinary Annuity = 1000 $ × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = 1000 $ × [5, 53]

Izračun sedanje vrednosti

Upoštevajte, da je odstotek razlike med 5.525, 64 in 5.525, 63 dolarjev posledica napake pri zaokroževanju v prvem izračunu. Vsaka vrednost prvega izračuna mora biti zaokrožena na najbližji peni - več ko morate v izračunu zaokrožiti številke, večja je verjetnost napak pri zaokroževanju. Torej, zgornja formula ne daje le bližnjice do iskanja najnižje meje običajne rente, ampak tudi bolj natančen rezultat.

Sedanja vrednost rente je preprosto trenutna vrednost vseh dohodkov, ustvarjenih s to naložbo v prihodnosti. Ta izračun temelji na konceptu časovne vrednosti denarja, ki pravi, da je dolar zdaj vreden več kot dolar, zaslužen v prihodnosti. Zaradi tega sedanji izračuni vrednosti za diskontiranje vrednosti prihodnjih plačil uporabljajo število časovnih obdobij, v katerih se ustvari dohodek.

Če želite določiti današnjo vrednost prihodnjega niza plačil, morate uporabiti formulo, ki izračuna sedanjo vrednost (PV) navadne rente. To je formula, ki bi jo uporabili kot del izračuna cene obveznic. PV navadne rente izračuna sedanjo vrednost kuponskih plačil, ki jih boste prejeli v prihodnosti.

Za primer 2 bomo uporabili enak razpored denarnega toka rente kot v primeru 1. Za pridobitev skupne diskontirane vrednosti moramo vzeti sedanjo vrednost vsakega prihodnjega plačila in, tako kot v primeru 1, dodati denarni tokovi skupaj.

Ponovno bo izračunavanje in dodajanje vseh teh vrednosti trajalo precej časa, še posebej, če pričakujemo veliko plačil v prihodnosti. Čeprav številni spletni kalkulatorji lahko določijo sedanjo vrednost rente, formule navadne rente ni pretirano zapleteno izračunati ročno, če uporabimo matematično bližnjico za PV navadne rente.

PVOredna anuiteta = C × [1− (1 + i) −ni] \ besedilo {PV} _ {\ besedilo {Navadno ~ letnost}} = \ besedilo {C} \ krat \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVO redna anuiteta = C × [i1− (1 + i) −n]

Formula nam v nekaj preprostih korakih zagotavlja PV. Tu je izračun rente, predstavljen v diagramu za primer 2:

PVOrdinary Annuity = 1000 $ × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ začeti {poravnano} \ besedilo {PV} _ {\ besedilo {Navadno ~ letnost}} & = \ $ 1000 \ krat \ Big [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ krat [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ konec {poravnano} PVOrdinary Annuity = 1000 $ × [0, 051− (1 + 0, 05) −5] = 1000 × $ 4, 33]

Izračun bodoče vrednosti

Ko prejemate ali plačujete denarne tokove za zapadlo renta, bi bil vaš denarni tok prikazan na naslednji način:

Ker je vsako plačilo v seriji opravljeno eno obdobje prej, moramo formulo diskontovati nazaj. Majhna sprememba formule FV navadne rente predstavlja plačila, ki se zgodijo na začetku vsakega obdobja. V primeru 3 ponazorimo, zakaj je ta sprememba potrebna, kadar je vsako plačilo v višini 1000 USD na začetku obdobja in ne na koncu (obrestna mera je še vedno 5%):

Ko se plačila izvedejo na začetku obdobja, se vsak znesek zadrži dlje na koncu obdobja. Če bi na primer 1.000 dolarjev vložili 1. januarja namesto 31. decembra vsako leto, bi bilo zadnje plačilo, preden bomo naložbo ocenili ob koncu petih let (31. decembra), izvedli leto prej (1. januarja), ne pa isti dan, ko je ovrednoten. Prihodnja vrednost formule rente bi se glasila:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ krat \ levo [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ desno] \ krat (1 + i) FVAnnostnost zapad = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Zato je dr.

FVAnnuity zapad = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ začeti {poravnano} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ krat \ levo [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ desno] \ krat (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5, 53 \ times1, 05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ konec { poravnano} FVAnatujnost = 1000 USD × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = 1000 × 5, 53 × 1, 05

Letna zapadlost

Izračun sedanje vrednosti

Za sedanjo vrednost formule, ki zapade v anuiteto, moramo formulo diskontirati za eno obdobje naprej, saj se plačila izvajajo za krajši čas. Pri izračunu sedanje vrednosti predpostavljamo, da je bilo prvo plačilo izvedeno danes.

To formulo bi lahko uporabili za izračun sedanje vrednosti vaših prihodnjih plačil najemnine, kot je določeno v najemu, ki ga podpišete s svojim najemodajalcem. Recimo, da ste prvo plačilo najemnine (glejte primer 4 spodaj) izvedli v začetku meseca in ocenili sedanjo vrednost vašega petmesečnega najema istega dne. Vaš izračun sedanje vrednosti bi deloval na naslednji način:

Seveda lahko uporabimo bližnjico s formulo za izračun sedanje vrednosti zapadle rente:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ krat \ levo [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ desno] \ krat (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Zato je dr.

PVAnnuity zapad = 1000 $ × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ začeti {poravnano} PV _ {\ text {Annuity due}} & = \ $ 1000 \ krat \ levo [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ desno] \ krat (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ konec {poravnano} PVAnnuity zapad = 1000 $ [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05

Spomnimo se, da je sedanja vrednost navadne rente vrnila vrednost 4.329, 48 USD. Sedanja vrednost navadne rente je manjša od zapadle rente, ker ko diskontiramo prihodnje plačilo, je nižja njegova sedanja vrednost - vsako plačilo ali denarni tok v navadni renti se zgodi še eno obdobje v prihodnost.

Časovna vrednost denarja

Prihodnji izračun vrednosti temelji na konceptu časovne vrednosti denarja. To preprosto pomeni, da je danes zaslužen dolar vreden več kot dolar, zaslužen jutri, ker lahko sredstva, ki jih zdaj nadzorujete, vložite in sčasoma zaslužite obresti. Zato je prihodnja vrednost rente večja od vsote vseh vaših naložb, ker so ti prispevki sčasoma zaslužili obresti. Na primer, prihodnja vrednost 1.000 dolarjev, vloženih danes z 10-odstotnimi obrestmi, je 1.100 dolarjev na leto od zdaj. En sam dolar je danes vreden 1, 10 dolarja na leto zaradi časovne vrednosti denarja.

Predpostavimo, da plačujete 5000 USD navadne rente za 15 let. Zasluži 9% obresti, sestavljene letno.

FV = 5000 USD × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × 2.642 ÷ 0, 09 \ začeti {poravnano} FV & = \ 5.000 $ \ krat \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ 5000 $ \ krat \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ 5000 $ \ krat 2.642 \ div 0, 09 \\ & = \ 5.000 $ \ krat \ 146.804, 58 \ konec {poravnano} FV = 5000 USD × ((((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 USD × 2.642 ÷ 0, 09

Brez moči obrestnih mer se vaša serija 5000 prispevkov ob koncu 15 let izplača le 75.000 USD. Namesto z obrestnimi obrestmi je prihodnja vrednost vaše rente skoraj dvakrat višja od 146 804, 58 USD.

Za izračun prihodnje vrednosti zapadle rente preprosto pomnožite navadno prihodnjo vrednost z 1+ i (obrestna mera). V zgornjem primeru je prihodnja vrednost rente zaradi enakih parametrov preprosto 146 804, 58 USD x (1 + 0, 09) ali 160, 016, 99 USD.

Sedanja vrednostna vprašanja

Pri izračunu sedanje vrednosti rente je pomembno, da so vse spremenljivke dosledne. Če na primer anuiteta ustvari letna plačila, mora biti obrestna mera izražena tudi kot letna obrestna mera. Če na primer renta ustvarja mesečna plačila, mora biti obrestna mera izražena tudi kot mesečna obrestna mera.

Predpostavimo, da ima 10% obrestna mera, ki letno plačuje 3000 USD v naslednjih 15 letih. Sedanja vrednost te rente je:

= 3000 USD × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 USD × ((1 −2, 239392) ÷ 0, 1) = 3000 USD × (0, 760608 ÷ 0, 1) = 3 000 × 7, 660608 \ začnite {poravnano } & = \ 3000 $ \ krat (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3000 \ krat ((1 - .239392) \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 $ \ krat (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ 3000 USD \ krat 7, 60608 \\ & = \ 22, 818 $ \ konec {poravnano} = 3000 USD × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3000 × × ((1-.239392) ÷ 0, 1) = 3000 × × 0, 760608 ÷ 0, 1) = 3 000 × 7, 660608

Trenutna vrednost anuitete

Spodnja črta

Zdaj lahko vidite, kako anuitete vplivajo na izračun sedanje in prihodnje vrednosti katere koli količine denarja. Ne pozabite, da so frekvenca plačila ali število plačil in čas, ko so ta plačila izvedena (ne glede na to, ali so na začetku ali koncu vsakega obdobja plačila) vse spremenljivke, ki jih morate upoštevati pri svojih izračunih.

Pri načrtovanju upokojitve je pomembno, da si dobro zamislite, na kakšen dohodek se lahko zanesete vsako leto. Čeprav lahko razmeroma enostavno sledite, koliko vložite v pokojninske načrte, ki jih sponzorira delodajalec, v posamezne pokojninske račune (IRA) in rente, ni vedno tako enostavno vedeti, koliko boste dobili. Na srečo, ko gre za anuitete s fiksno obrestno mero ali načrte, vložene v vrednostne papirje s fiksno obrestno mero, obstaja preprost način, kako izračunati, koliko denarja lahko pričakujete, da boste imeli na voljo po upokojitvi, glede na to, koliko ste vložili na račun v svojih delovnih letih .