Opredelitev teorema Bayesa
Bayesov izrek, imenovan po britanskem matematiku iz 18. stoletja Thomasu Bayesu, je matematična formula za določanje pogojne verjetnosti. Izrek omogoča način pregleda obstoječih napovedi ali teorij (posodobitev verjetnosti) z novimi ali dodatnimi dokazi. Pri financah lahko Bayesov izrek uporabimo za oceno tveganja posojanja denarja potencialnim posojilojemalcem.
Bayesov izrek se imenuje tudi Bayesov zakon ali Bayesov zakon in je temelj področja Bayesove statistike.
Ključni odvzemi
- Bayesov teorem omogoča posodobitev predvidenih verjetnosti dogodka z vključitvijo novih informacij.
- Bayesov teorem je dobil ime po matematiku iz 18. stoletja Thomasu Bayesu.
- Pogosto se uporablja pri financah pri posodabljanju ocene tveganja.
Formula za Bayesov teorem je
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) kjer: P (A) = verjetnost pojava A (B) = Verjetnost pojava BP (A∣B) = Verjetnost A danega BP (B∣A) = Verjetnost B dane AP (A⋂B)) = Verjetnost pojava A in B \ se začne \ poravnano} & P \ levo (A | B \ desno) = \ frac {P \ levo (A \ bigcap {B} \ desno)} {P \ levo (B \ desno)} = \ frac {P \ levo (A \ desno) \ cdotP \ levo (B} {P \ levo (B \ desno)} \\ & \ textbf {kjer:} \\ & P \ levo (A \ desno) = \ besedilo {Verjetnost pojava} \\ & P \ levo (B \ desno) = \ besedilo {Verjetnost pojava B} \\ & P \ levo (A | B \ desno) = \ besedilo {Verjetnost A danega B} \\ & P \ levo (B | A \ desno) = \ text {Verjetnost B z A} \\ & P \ levo (A \ bigcap {B} \ desno)) = \ besedilo {Verjetnost pojava A in B} \\ \ konec {poravnano} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), kjer je: P (A) = verjetnost pojava A (B) = verjetnost pojava BP (A∣B) = verjetnost A danega BP (B∣A) = verjetnost B danega AP (A⋂B)) = verjetnost pojava A in B
Pojasnil je Bayesov teorem
Uporaba teorema je zelo razširjena in ni omejena na finančno področje. Kot primer lahko Bayesov izrek uporabimo za določitev natančnosti rezultatov medicinskih testov, pri čemer upoštevamo, kako verjetno je, da ima posamezna oseba bolezen in splošno natančnost testa. Bayesov izrek temelji na vključitvi predhodnih porazdelitev verjetnosti, da bi ustvaril posteriorne verjetnosti. Predhodna verjetnost je pri Bayesovem statističnem sklepanju verjetnost dogodka pred zbiranjem novih podatkov. To je najboljša racionalna ocena verjetnosti izida na podlagi trenutnih znanj pred izvedbo eksperimenta. Zadnja verjetnost je spremenjena verjetnost dogodka, ki se zgodi po upoštevanju novih informacij. Zadnja verjetnost se izračuna s posodobitvijo predhodne verjetnosti z uporabo Bayesovega teorema. V statističnem smislu je zadnja verjetnost verjetnost dogodka A, ki se zgodi, glede na to, da se je zgodil dogodek B.
Bayesov izrek tako daje verjetnost dogodka, ki temelji na novih informacijah, ki so ali so lahko povezane s tem dogodkom. Formulo je mogoče uporabiti tudi za prikaz, kako hipotetične nove informacije vplivajo na verjetnost dogodka, ob predpostavki, da se bodo nove informacije izkazale za resnične. Recimo, da je ena kartica sestavljena iz celotnega kroga 52 kart. Verjetnost, da je kartica kralj, je 4 deljena s 52, kar je 1/13 ali približno 7, 69%. Ne pozabite, da so v krovu 4 kralji. Predpostavimo, da je izbrana kartica osebna kartica. Verjetnost, da je izbrana karta kralj, glede na to, da gre za kartico, je 4 deljena z 12, ali približno 33, 3%, saj je v krovu 12 obraznih kart.
Izvedba Bayesove formule teorema s primerom
Bayesov izrek izhaja preprosto iz aksiomov pogojne verjetnosti. Pogojna verjetnost je verjetnost dogodka glede na to, da se je zgodil drug dogodek. Na primer, preprosto vprašanje verjetnosti se lahko postavi: "Kolikšna je verjetnost, da bo cena delnic Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN) padla?" Pogojna verjetnost to vprašanje naredi še korak dlje, tako da se vpraša: "Kolikšna je verjetnost pada cene delnic AMZN, če je indeks Dow Jones Industrial Average padel prej?"
Pogojna verjetnost A, glede na to, da se je zgodil B, se lahko izrazi kot:
Če je A: "AMZN cena pade", potem je P (AMZN) verjetnost, da pade AMZN; in B je: "DJIA je že padla", P (DJIA) pa verjetnost, da je DJIA padla; potem se pogojni verjetnostni izraz glasi kot "verjetnost, da se AMZN spusti ob padcu DJIA, je enaka verjetnosti, da se cena AMZN zniža, DJIA pa upade nad verjetnostjo znižanja indeksa DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN in DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN in DJIA) je verjetnost pojava A in B. To je isto kot verjetnost pojava A, pomnoženo z verjetnostjo, da se pojavi B, glede na to, da se pojavijo A, izraženi kot P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Dejstvo, da sta ta dva izraza enaka, vodi k Bayesovemu izreku, ki je zapisan kot:
če je P (AMZN in DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
potem je P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Kjer sta P (AMZN) in P (DJIA) verjetnosti, da Amazon in Dow Jones padeta, ne glede na drug drugega.
Formula pojasnjuje razmerje med verjetnostjo hipoteze pred ogledom dokazov, da je P (AMZN), in verjetnostjo hipoteze po pridobitvi dokazov P (AMZN | DJIA), glede na hipotezo za Amazon, ki je naveden v Dowu.
Numerični primer teorema Bayesa
Kot numerični primer si predstavljajte, da obstaja preizkus drog, ki je 98% natančen, kar pomeni, da 98% časa kaže resnično pozitiven rezultat za nekoga, ki je užival drogo, v 98% pa kaže resničen negativen rezultat za neuporabnike droga. Nato predpostavimo, da 0, 5% ljudi uživa drogo. Če je oseba izbrana na naključnih testih, ki so pozitivni za zdravilo, je mogoče izračunati, ali obstaja verjetnost, da je oseba dejansko uporabnik droge.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayesov izrek kaže, da četudi je človek v tem scenariju preizkušal pozitivno, je dejansko veliko bolj verjetno, da oseba ni uporabnik droge.
Primerjajte investicijske račune Ime ponudnika Opis Razkritje oglaševalcev × Ponudbe, ki se pojavijo v tej tabeli, so partnerstva, od katerih Investopedia prejema nadomestilo.