Razumevanje modela binomnih opcijskih cen

Dogovoriti se za natančno določanje cen za vsako prodajno sredstvo je izziv - zato se cene delnic nenehno spreminjajo. V resnici podjetja komaj vsakodnevno spreminjajo svoje vrednotenje, vendar se cene delnic in vrednotenja skoraj vsako sekundo spreminjajo. Te težave pri doseganju soglasja o pravilnem oblikovanju cen za vsako prodajno sredstvo vodijo do kratkotrajnih arbitražnih možnosti.

Toda veliko uspešnih naložb se spušča na preprosto vprašanje današnjega vrednotenja - kakšna je danes prava trenutna cena za pričakovano prihodnjo izplačilo?

Vrednotenje binomskih možnosti

Da bi se izognili arbitražnim možnostim, mora imeti premoženje z enako strukturo izplačila na konkurenčnem trgu enako ceno. Vrednotenje opcij je bila zahtevna naloga, spremembe cen pa vodijo do arbitražnih možnosti. Black-Scholes ostaja eden najbolj priljubljenih modelov, ki se uporablja za cenovne možnosti, vendar ima omejitve.

Model binomskih opcij je še ena priljubljena metoda, ki se uporablja za možnosti določanja cen.

Primeri

Predpostavimo, da na določeni delnici obstaja možnost klica s trenutno tržno ceno 100 USD. Opcija pri denarju (ATM) ima stavčno ceno 100 dolarjev s potekom enega leta. Dva trgovca, Peter in Paula, se strinjata, da se bo cena delnic v enem letu dvignila na 110 dolarjev ali na 90 dolarjev.

Strinjajo se o pričakovani ravni cen v danem obdobju enega leta, vendar se ne strinjajo glede verjetnosti premika navzgor ali navzdol. Peter meni, da je verjetnost, da bo cena delnice znašala 110 dolarjev, 60-odstotna, Paula pa 40-odstotna.

Kdo bi bil na podlagi tega pripravljen plačati več cene za klicno opcijo? Morebiti Peter, saj pričakuje veliko verjetnost premika navzgor.

Izračuni binomnih možnosti

Dva sredstva, od katerih je vrednotenje odvisna, sta klicna opcija in osnovni stalež. Udeleženci soglašajo, da se osnovna cena delnic lahko v enem letu premakne s sedanjih 100 na 110 do 90 dolarjev in drugih premikov cen ni mogoče.

Če morate ustvariti portfelj, sestavljen iz teh dveh sredstev, klicne opcije in osnovnih delnic, tako da ne glede na to, kam gre osnovna cena - 110 dolarjev ali 90 dolarjev - čisti donos portfelja vedno ostane enak . Recimo, da kupite "d" delnice osnovne in kratke možnosti za en klic, da ustvarite ta portfelj.

Če cena pade na 110 dolarjev, bodo vaše delnice vredne 110 USD * d, izguba pa bo izgubila 10 USD na kratek klic. Čista vrednost vašega portfelja bo (110d - 10).

Če se cena spusti na 90 dolarjev, bodo vaše delnice vredne 90 USD * d, možnost pa bo potekla brez vrednosti. Čista vrednost vašega portfelja bo (90d).

Če želite, da vrednost vašega portfelja ostane enaka, ne glede na to, kam gre osnovna cena delnice, potem mora vrednost vašega portfelja v obeh primerih ostati enaka:

h (d) −m = l (d) pri čemer je: h = najvišja potencialna osnovna cena = število osnovnih delnicm = denar, izgubljen pri izplačilu kratkega klica = najnižja potencialna osnovna cena \ začni {poravnano} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {kjer:} \\ & h = \ besedilo {Najvišja možna osnovna cena} \\ & d = \ besedilo {Število osnovnih delnic} \\ & m = \ besedilo {Izgubljeni denar ob izplačilu kratkega klica} \\ & l = \ text {Najnižja potencialna osnovna cena} \\ \ konec {poravnano} h (d) −m = l (d) kjer: h = najvišja potencialna osnovna cena = število osnovnih delnicm = denar, izgubljen na kratkem klicu payoffl = Najnižja potencialna osnovna cena

Če torej kupite polovico delnice, ob predpostavki, da so možni delni nakupi, boste uspeli ustvariti portfelj, tako da njegova vrednost ostane v obeh možnih stanjih enaka v enem letu.

110d − 10 = 90dd = 12 \ začetek {poravnano} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ konec {poravnano} 110d − 10 = 90dd = 21

Ta vrednost portfelja, označena z (90d) ali (110d - 10) = 45, je eno leto navzdol. Za izračun sedanje vrednosti ga je mogoče diskontirati po stopnji donosnosti brez tveganja (ob predpostavki 5%).

Sedanja vrednost = 90d × e (−5% × 1 leto) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ začnite {poravnano} \ besedilo {Sedanja vrednost} & = 90d \ krat e ^ {(-5 \% \ krat 1 \ besedilo {Leto})} \\ & = 45 \ krat 0.9523 \\ & = 42, 85 \\ \ konec {poravnano} Sedanja vrednost = 90d × e (−5% × 1 leto) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Ker trenutno portfelj obsega ½ deleža osnovnega kapitala (s tržno ceno 100 USD) in en kratek klic, bi moral biti enak sedanji vrednosti.

12 × 100−1 × Cena klica = 42, 85 $ Klicna cena = 7, 14 USD, tj. Današnja cena klica \ začen {poravnano} & \ frac {1} {2} \ krat 100 - 1 \ krat \ besedilo {Cena klica} = \ 42, 85 $ \\ & \ besedilo {klicna cena} = \ 7, 14 $ \ besedilo {, tj. Današnja cena klica} \\ \ konec {poravnano} 21 × 100−1 × cena klica = 42, 85 $ klicna cena = 7, 14 $, tj. današnja cena klica

Ker to temelji na predpostavki, da vrednost portfelja ostane enaka, ne glede na to, na kakšen način gre osnovna cena, verjetnost premika navzgor ali navzdol ne igra nobene vloge. Portfelj ostaja brez tveganja, ne glede na osnovna gibanja cen.

V obeh primerih (ob predpostavki, da se dvignejo na 110 USD in navzdol na 90 USD), je vaš portfelj nevtralen do tveganja in zasluži netvegano stopnjo donosa.

Tako bosta oba trgovca, Peter in Paula, pripravljena plačati enaka 7, 14 USD za to opcijo klica, kljub različnim dojemanjem verjetnosti premikov navzgor (60% in 40%). Njihove posamično zaznane verjetnosti niso pomembne za vrednotenje opcij.

Če predpostavimo, da so posamezne verjetnosti pomembne, so se lahko predstavile arbitražne možnosti. V resničnem svetu obstajajo takšne arbitražne možnosti z manjšimi razlikami v cenah in kratkoročno izginejo.

Toda kje je v vseh teh izračunih močno spremenjena nestanovitnost pomemben in občutljiv dejavnik, ki vpliva na določanje cen opcij?

Hlapnost je že vključena z naravo opredelitve problema. Če predpostavimo, da sta dve (in samo dve - od tod tudi ime „binomna“) ravni cen (110 do 90 dolarjev), je volatilnost v tej predpostavki implicitna in vključena samodejno (v tem primeru je 10% tako ali tako).

Črno-Scholes

Toda, ali je ta pristop pravilen in skladen s pogosto uporabljenimi cenami Black-Scholes? Rezultati kalkulatorja možnosti (z dovoljenjem OIC) se tesno ujemajo z izračunano vrednostjo:

Na žalost resnični svet ni tako preprost kot "samo dve državi." Zaloga lahko doseže več ravni cen pred iztekom.

Ali je mogoče vse te več ravni vključiti v model binomskih cen, ki je omejen na samo dve ravni ">

Preprosta matematika

Če želite posplošiti to težavo in rešitev:

"X" je trenutna tržna cena zaloge in "X * u" in "X * d" sta prihodnji ceni premikov navzgor in navzdol "t" po letih. Faktor "u" bo večji od enega, saj označuje premik navzgor in "d" bo med ničjo in eno. Za zgornji primer u = 1, 1 in d = 0, 9.

Izplačila klicne možnosti sta "P _up " in "P _dn " za premike navzgor in navzdol v trenutku izteka.

Če sestavite portfelj "s" delnic, kupljenih danes, in skratite eno možnost klica, potem čez čas "t":

VUM = s × X × u −Podrobno: VUM = vrednost portfelja v primeru premika navzgor \ začni {poravnano} & \ besedilo {VUM} = s \ krat X \ krat u - P_ \ besedilo {gor} \\ & \ textbf {kjer:} \\ & \ besedilo {VUM} = \ besedilo {Vrednost portfelja v primeru premika navzgor} \\ \ konec {poravnano} VUM = s × X × u-mladič, kjer: VUM = Vrednost portfelja v primeru premika navzgor

VDM = s × X × d −Ponovno: VDM = Vrednost portfelja v primeru premika navzdol \ začni {poravnano} & \ text {VDM} = s \ krat X \ krat d - P_ \ besedilo {dol} \\ & \ textbf {kjer:} \\ & \ besedilo {VDM} = \ besedilo {Vrednost portfelja v primeru premika navzdol} \\ \ konec {poravnano} VDM = s × X × d − Pdown, kjer: VDM = Vrednost portfelja v primeru premika navzdol

Za podobno vrednotenje v obeh primerih gibanja cen:

s × X × u – Pup = s × X × d − Pdowns \ krat X \ krat u - P_ \ besedilo {up} = s \ krat X \ krat d - P_ \ besedilo {navzdol} s × X × u− Pup = s × X × d − Pdown

s = Pup-PdownX × (u − d) = Število delnic, ki jih je treba kupiti za = portfelj brez tveganj \ začeti {poravnati} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {dol} } {X \ krat (u - d)} \\ & = \ besedilo {Število delnic, ki jih je treba kupiti za} \\ & \ phantom {=} \ besedilo {portfelj brez tveganj} \\ \ konec {poravnano} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Število delnic za nakup = portfelj brez tveganj

Prihodnja vrednost portfelja na koncu "t" let bo:

V primeru premika = s × X × u-Pup = Pup-Pdownu − d × u − Pup \ začnite {poravnano} \ besedilo {V primeru premika} & = s \ krat X \ krat u - P_ \ besedilo {up} \\ & = \ frac {P_ \ besedilo {up} - P_ \ besedilo {dol}} {u - d} \ krat u - P_ \ besedilo {up} \\ \ konec {poravnano} V primeru Premakni navzgor = s × X × u upup = u − dPup −Pdown × u − Pup

V primeru premika navzdol = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ začni {poravnano} \ besedilo {V primeru premika navzdol} & = s \ krat X \ krat d - P_ \ besedilo {navzdol} \\ & = \ frac {P_ \ besedilo {gor} - P_ \ besedilo {navzdol}} {u - d} \ krat d - P_ \ besedilo {dol} \\ \ konec {poravnano} V primeru Premakni navzdol = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Današnjo vrednost lahko dobite tako, da jo diskontirate s stopnjo donosa brez tveganja:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup], kjer: PV = vrednost sedanjega dne = stopnja vrnitve = čas, v letih \ začetek {poravnano} & \ besedilo {PV} = e (-rt) \ krat \ levo [\ frac {P_ \ besedilo {gor} - P_ \ besedilo {dol}} {u - d} \ krat u - P_ \ besedilo {up} \ desno] \\ & \ textbf { kjer:} \\ & \ besedilo {PV} = \ besedilo {vrednost sedanjega dne} \\ & r = \ besedilo {stopnja donosa} \\ & t = \ besedilo {Čas, v letih} \\ \ konec {poravnano} PV = e (−rt) × [u-dPup −Pdown × u − Pup], kjer: PV = vrednost sedanjega dne = stopnja vrnitve = čas, v letih

To bi se moralo ujemati s portfeljskim lastništvom delnic "s" po ceni X, kratka klicna vrednost "c" (današnje imetje (s * X - c) pa bi moralo biti enako temu izračunu.) Če rešitev za "c" končno daje kot:

Opomba: Če je premija za klic skrajšana, bi morala biti dodatek portfelju in ne odštevanje.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ krat [(e (-rt) - d) \ krat P_ \ besedilo {up} + (u - e (-rt)) \ krat P_ \ besedilo {navzdol}] c = u-de (−rt) × [(e (−rt) −d) × Pup + (u-e (−rt)) × Pdown]

Drug način, kako napisati enačbo je s preureditvijo:

"Q" kot:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

Nato enačba postane:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ krat (q \ krat P_ \ besedilo {up} + (1 - q) \ krat P_ \ besedilo {navzdol}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Preurejanje enačbe v smislu q je ponudilo novo perspektivo.

Zdaj si lahko "q" razlagate kot verjetnost premika zgornje podlage (saj je "q" povezan s P _up in "1-q" je povezan s P _dn ). Na splošno enačba predstavlja današnjo ceno opcije, diskontirano vrednost njenega izplačila ob poteku veljavnosti.

Ta "Q" je drugačen

Kako se ta verjetnost "q" razlikuje od verjetnosti premika navzgor ali navzdol pod premikom ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × drugje: VSP = vrednost zaloge v času t \ start {poravnano} & \ besedilo {VSP} = q \ krat X \ krat u + (1 - q) \ krat X \ krat d \\ & \ textbf {kjer:} \\ & \ besedilo {VSP} = \ besedilo {Vrednost zaloge v času} t \\ \ konec {poravnano} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × drugje: VSP = vrednost zaloge v času t

Če zamenjamo vrednost "q" in preuredimo, cena delnice v času "t" pride do:

Cena zaloge = e (rt) × X \ začetek {poravnano} & \ besedilo {cena zaloge} = e (rt) \ krat X \\ \ konec {poravnano} cena zaloge = e (rt) × X

V tem predpostavljenem svetu dveh držav se cena delnic preprosto zviša za brezcarinsko stopnjo donosa, točno tako kot brez tvegano sredstvo, zato ostane neodvisna od kakršnega koli tveganja. Vlagatelji so po tem modelu ravnodušni do tveganja, zato to predstavlja tvegan nevtralni model.

Verjetnosti „q“ in „(1-q)“ sta znani kot tveganje, nevtralne verjetnosti, metoda vrednotenja pa je znana kot tvegano nevtralni model vrednotenja.

Primer scenarija ima eno pomembno zahtevo - prihodnja struktura izplačil je potrebna natančno (ravni 110 in 90 dolarjev). V resničnem življenju takšna jasnost glede stopenjskih ravni cen ni mogoča; raje se cena giblje naključno in se lahko poravna na več ravneh.

Če želite nadalje razširiti primer, predpostavimo, da so možne dvostopenjske ravni cen. Končne izplačila v drugem koraku poznamo in moramo danes oceniti možnost (v začetnem koraku):

Vzpostavljeno vmesno vrednotenje v prvem koraku (pri t = 1) je mogoče opraviti z uporabo končnih izplačil v drugem koraku (t = 2), nato pa z uporabo izračunanega vrednotenja v prvem koraku (t = 1), današnjega vrednotenja (t = 0) lahko dosežemo s temi izračuni.

Za ceno opcij pri številki dve se uporabljajo izplačila ob štirih in petih. Za določitev cen za številko tri se uporabljajo izplačila ob petih in šestih. Na koncu se izračunana izplačila ob dveh in treh uporabijo za določanje cen pri številu ena.

Upoštevajte, da ta primer predvideva enak faktor za premike navzgor (in navzdol) v obeh korakih - u in d se uporabljata sestavljeno.

Delovni primer

Predpostavimo, da je nakupna opcija s stavčno ceno 110 dolarjev trenutno na trgu 100 dolarjev in poteče v enem letu. Letna stopnja brez tveganja znaša 5%. Pričakuje se, da se bo cena zvišala za 20% in znižala za 15% vsakih šest mesecev.

Tu je u = 1, 2 in d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

z uporabo zgornje izpeljane formule za

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

dobimo q = 0, 35802832

vrednost dane možnosti v točki 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn), kjer je: p = Cena možnosti za postavitev \ začne {poravnano} & p_2 = e (-rt) \ krat (p \ krat P_ \ besedilo {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {kjer:} \\ & p = \ besedilo {Cena možnosti možnosti} \\ \ konec {poravnano} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn), kjer je: p = cena možnosti put

V _pogoju P _upup bo osnovna vrednost = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 USD, kar vodi v P _upup = nič

V _pogoju P _updn bo osnovna vrednost = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, kar vodi do P _updn = 8 USD

V _pogoju P _dndn bo osnovna vrednost = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD, kar bo vodilo do P _dndn = 37, 75 $

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Podobno je p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ krat (q \ krat p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

In s tem vrednost put opcije, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Podobno tudi binomni modeli omogočajo, da prekinete celotno trajanje možnosti za nadaljnje izpopolnjevanje več korakov in stopenj. Z računalniškimi programi ali preglednicami lahko korak za korakom storite nazaj, da pridobite sedanjo vrednost želene možnosti.

Še en primer

Predpostavimo, da ima možnost evropskega tipa dobavo z devetimi meseci do izteka roka, stavkajočo ceno 12 dolarjev in trenutno osnovno ceno 10 dolarjev. Predpostavimo, da je stopnja brez tveganja 5% za vsa obdobja. Predpostavimo, da se lahko vsaka tri mesece osnovna cena premakne za 20% navzgor ali navzdol, kar nam daje u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 in tristopenjsko binomno drevo.

Rdeča označuje osnovne cene, modra pa izplačilo danih možnosti.

Tveganje "q", nevtralno tvegano, izračuna na 0, 531446.

Z uporabo zgornje vrednosti "q" in izplačilnih vrednosti pri t = devet mesecih se izračunajo ustrezne vrednosti pri t = šest mesecev kot:

Če uporabimo te izračunane vrednosti pri t = 6, vrednosti pri t = 3 in pri t = 0 so:

Tako današnja vrednost opcije put znaša 2, 18 dolarja, kar je blizu vrednosti, ki bi jo našli pri izračunih po modelu Black-Scholes (2, 30 USD).

Spodnja črta

Čeprav lahko z uporabo računalniških programov te intenzivne izračune olajšate, napovedovanje prihodnjih cen ostaja velika omejitev binomskih modelov za opcijsko določanje cen. Čim dlje so časovni intervali, tem težje je napovedati izplačila na koncu vsakega obdobja z visoko natančnostjo.

Vendar pa je prožnost vključevanja sprememb, pričakovanih v različnih obdobjih, plus, zaradi česar je primerna za oblikovanje ameriških opcij, vključno z vrednotenjem na začetku izvajanja.

Vrednosti, izračunane z uporabo binomskega modela, se tesno ujemajo z vrednostmi, izračunanimi iz drugih pogosto uporabljenih modelov, kot je Black-Scholes, kar kaže na uporabnost in natančnost binomskih modelov za določanje možnosti opcij. Modeli binomnih cen se lahko razvijejo v skladu s preferencami trgovca in lahko delujejo kot alternativa Black-Scholes.