Raziskovanje eksponentno tehtanega drsečega povprečja

Hlapnost je najpogostejše merilo tveganja, vendar je v več okusih. V prejšnjem članku smo pokazali, kako izračunati preprosto zgodovinsko nestanovitnost. V tem članku se bomo izboljšali na enostavni nestanovitnosti in razpravljali o eksponentno tehtanem drsečem povprečju (EWMA).

Zgodovinska vs. implicirana nestanovitnost

Najprej postavimo to metriko v malo perspektive. Obstajata dva široka pristopa: zgodovinska in implicitna (ali implicitna) nestanovitnost. Zgodovinski pristop predvideva, da je preteklost prolog; merimo zgodovino v upanju, da je napovedna. Po drugi strani implicirana nestanovitnost zanemarja zgodovino; rešuje nestanovitnost, ki jo implicirajo tržne cene. Upa, da trg najbolje pozna in da tržna cena vsebuje, četudi implicitno, soglasno oceno nestanovitnosti.

Če se osredotočimo samo na tri zgodovinske pristope (na levi zgoraj), imajo skupna dva koraka:

1. Izračunaj niz periodičnih donosov
2. Uporabite shemo uteži

Najprej izračunamo periodični donos. To je običajno niz dnevnih donosov, pri katerih se vsak donos izraža v nenehno sestavljenih izrazih. Za vsak dan vzamemo naravno evidenco razmerja med delnicami (tj. Cena danes, deljena s ceno včeraj in tako naprej).

ui = lnsisi − 1where: ui = donosnost na dan isi = cena delnice na dan isi − 1 = cena zaloge dan pred dnem \ \ začnemo {poravnano} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {kjer:} \\ & u_i = \ besedilo {vrne se na dan} i \\ & s_i = \ besedilo {cena zaloge na dan} i \\ & s_ {i - 1} = \ besedilo {cena delnice na dan pred dnevom} i \\ \ konec {poravnano} ui = lnsi − 1 si, kjer: ui = donos na dan isi = delniška cena na dan isi − 1 = cena delnice dan pred dnem Нямецкімі мовамі

Tako dobimo niz dnevnih donosov, od u _i do u _im, odvisno od tega, koliko dni (m = dni) merimo.

To nas pripelje do drugega koraka: tu se trije pristopi razlikujejo. V prejšnjem članku smo pokazali, da je pri par sprejemljivih poenostavitvah enostavna odstopanje povprečje kvadratnih donosov:

variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 kjer koli: m = število izmerjenih dnin = dayiu = razlika donosa od povprečnega donosa \ začne {poravnano} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kjer:} \\ & m = \ besedilo {število izmerjenih dni} \\ & n = \ besedilo {dan} i \\ & u = \ text {razlika donosa od povprečnega donosa} \\ \ konec {poravnana} variance = σn2 = m1 Σi = 1m un-12, kjer: m = izmerjeno število dnin = daniu = razlika donosa od povprečnega donosa

Upoštevajte, da je to seštevek vsakega periodičnega donosa, nato pa ga skupno delite s številom dni ali opazovanj (m). Torej gre res samo za povprečje kvadratnih periodičnih donosov. Povedano drugače, vsak kvadratni donos dobi enako težo. Če je torej alfa (a) uteževalni faktor (natančneje, a = 1 / m), je preprosta odstopanje videti nekako takole:

EWMA izboljšuje na enostavni variaciji
Slabost tega pristopa je, da vsi donosi prinašajo enako težo. Včerajšnji (zelo nedavni) donos nima več vpliva na odstopanje kot prejšnji mesec. To težavo odpravimo z uporabo eksponentno tehtanega drsečega povprečja (EWMA), v katerem imajo novejši povratki večjo težo na odstopanje.

Eksponentno tehtano drseče povprečje (EWMA) uvaja lambda, ki se imenuje gladek parameter. Lambda mora biti manj kot ena. Pod tem pogojem se vsak kvadratni dobi namesto enakih uteži tehta s množiteljem, kot sledi:

Na primer, RiskMetrics ^TM _, družba za upravljanje finančnih tveganj, ponavadi uporablja lambda 0, 94 ali 94%. V tem primeru se prvi (zadnji) kvadratni periodični donos tehta s (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. Naslednji povratek v kvadrat je preprosto večkratnik lambda prejšnje teže; v tem primeru 6% pomnoženo s 94% = 5, 64%. In teža tretjega prejšnjega dne je enaka (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

To je pomen "eksponencialnega" v EWMA: vsaka teža je stalni množitelj (tj. Lambda, ki mora biti manjša od ene) teže prejšnjega dne. To zagotavlja odstopanje, ki je ponderirano ali pristransko glede na novejše podatke. Razlika med preprosto nestanovitnostjo in sistemom EWMA za Google je prikazana spodaj.

Enostavna nestanovitnost učinkovito tehta vsak periodični donos za 0, 196%, kot je prikazano v stolpcu O (imeli smo dve leti dnevnih podatkov o cenah delnic. To je 509 dnevnih donosov in 1/509 = 0, 196%). Toda upoštevajte, da stolpec P dodeli 6% teže, nato 5, 64%, nato 5, 3% in tako naprej. To je edina razlika med preprosto variance in EWMA.

Ne pozabite: ko seštejemo celotno serijo (v stolpcu Q), imamo varianto, ki je kvadrat standardnega odklona. Če želimo nestanovitnost, si moramo zapomniti, da vzamemo kvadratni koren te variance.

Kakšna je razlika v dnevni nestanovitnosti med variance in EWMA v Googlovem primeru ">

Današnja varianta je funkcija spreminjanja prejšnjega dne

Opazili boste, da smo morali izračunati dolgo vrsto eksponentno upadajočih uteži. Tu ne bomo delali matematike, vendar je ena najboljših lastnosti EWMA ta, da se celotna serija priročno zmanjša na rekurzivno formulo:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12, kjer je: λ = stopnja uteži padaσ2 = vrednost v časovnem obdobju nu2 = vrednost EWMA v časovnem obdobju n \ start {usklajeno} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kjer:} \\ & \ lambda = \ besedilo {stopnja zmanjšanja teže} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ besedilo {vrednost v časovnem obdobju} n \\ & u ^ 2 = \ besedilo {vrednost EWMA v časovnem obdobju} n \\ \ konec {poravnano} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12, kjer: λ = stopnja zmanjšanja utežiσ2 = vrednost v časovnem obdobju nu2 = vrednost EWMA v časovnem obdobju n

Rekurzivno pomeni, da so današnje sklice na odstopanje (tj. Funkcija odstopanja prejšnjega dne). To formulo lahko najdete tudi v preglednici in daje popolnoma enak rezultat kot izračun dolge roke! Piše: današnja varianta (pod EWMA) je enaka včerajšnji varianti (tehtani z lambda) plus včerajšnji dobiček v kvadraturi (tehtal je en minus lambda). Opazite, kako samo seštejemo dva izraza: včerajšnjo tehtano odstopanje in včerajšnjo tehtano, donosnost kvadrata.

Kljub temu je lambda naš parameter glajenja. Višja lambda (npr. Kot 94% RiskMetric) kaže na počasnejše razpadanje v seriji - v relativnem smislu bomo v seriji imeli več podatkovnih točk in počasneje bodo "odpadle". Po drugi strani pa, če zmanjšamo lambda, označimo večji razpad: uteži hitreje padejo in kot neposreden rezultat hitrega razpada uporabimo manj podatkovnih točk. (V preglednici je lambda vhodni podatek, zato lahko eksperimentirate z njeno občutljivostjo).

Povzetek
Volatilnost je trenutni standardni odklon zaloge in najpogostejša merila tveganja. Je tudi kvadratni koren variance. Variance lahko merimo zgodovinsko ali implicitno (implicirana nestanovitnost). Pri zgodovinskem merjenju je najlažja metoda preprosta variacija. Toda šibkost preproste variance je v tem, da vsi donosi dobijo enako težo. Torej smo soočeni s klasičnim kompromisom: vedno želimo več podatkov, vendar več podatkov imamo, bolj je naš izračun razredčen z oddaljenimi (manj pomembnimi) podatki. Eksponentno tehtano drseče povprečje (EWMA) se izboljša na preprosto odstopanje z dodeljevanjem uteži periodičnim donosom. S tem lahko uporabimo veliko velikost vzorca, hkrati pa damo večjo težo novejšim donosom.