Kako uporabljati simulacijo Monte Carlo z GBM

Eden najpogostejših načinov za oceno tveganja je uporaba Monte Carlo simulacije (MCS). Na primer, za izračun tvegane vrednosti (VaR) portfelja lahko izvedemo simulacijo Monte Carla, ki poskuša napovedati najhujšo verjetno izgubo portfelja glede na interval zaupanja v določenem časovnem obdobju (vedno moramo navesti dve pogoji za VaR: zaupanje in obzorje).

V tem članku bomo pregledali osnovni MCS, ki se uporablja za ceno delnice, z uporabo enega najpogostejših finančnih modelov: geometrijskega Brownovega gibanja (GBM). Medtem ko se simulacija Monte Carla lahko nanaša na vesolje različnih pristopov k simulaciji, bomo tu začeli z najosnovnejšim.

Kje začeti

Simulacija Monte Carla je poskus večkrat napovedati prihodnost. Na koncu simulacije na tisoče ali milijoni "naključnih preskusov" ustvarijo porazdelitev rezultatov, ki jih je mogoče analizirati. Osnovni koraki so naslednji:

1. Navedite model (npr. GBM)

Za ta članek bomo uporabili Geometric Brownian Motion (GBM), ki je tehnično markovski postopek. To pomeni, da cena delnice sledi naključnemu koraku in je v skladu s (vsaj) šibko obliko hipoteze učinkovitega trga (EMH) - pretekle informacije o cenah so že vključene, naslednje gibanje cen pa je "pogojno neodvisno" od pretekla gibanja cen.

Formulo za GBM najdete spodaj:

Kje:

• S = cena delnice
• Δ S = sprememba cene delnic
• μ = Pričakovani donos
• σ = standardni odklon donosa
• ϵ = Naključna spremenljivka
• Δ t = pretečeno časovno obdobje

Če prerazporedimo formulo za rešitev le za spremembo cene delnic, vidimo, da GBM pravi, da je sprememba cene zalog cena delnice "S", pomnožena z dvema izrazoma, ki jih najdemo v oklepaju spodaj:

Prvi izraz je "drift", drugi izraz pa "šok." Naš model predvideva, da bo za vsako časovno obdobje pričakovana donosnost "naraščala". Toda premik bo šokiral (dodal ali odšteval) naključni šok. Naključni šok bo standardni odklon "s", pomnožen z naključnim številom "e". To je preprosto način spreminjanja standardnega odklona.

To je bistvo GBM, kot je prikazano na sliki 1. Cena delnice sledi vrsti korakov, pri čemer je vsak korak premik plus ali minus naključni šok (kar je funkcija standardnega odklona delnice):

Slika 1

2. Ustvari naključne preizkuse

Oboroženi s specifikacijo modela nato nadaljujemo z izvajanjem naključnih preskusov. Za ponazoritev smo uporabili Microsoft Excel za izvedbo 40 preskusov. Upoštevajte, da gre za nerealno majhen vzorec; večina simulacij ali "simsov" izvede vsaj nekaj tisoč preskusov.

V tem primeru predpostavimo, da se zaloga začne na dan nič s ceno 10 dolarjev. Tukaj je pregled rezultatov, kjer je vsak časovni korak (ali interval) en dan in serija traja deset dni (povzeto: štirideset preskusov z dnevnimi koraki v desetih dneh):

Slika 2: Geometrično Brownovo gibanje

Rezultat je štirideset simuliranih cen delnic ob koncu 10 dni. Noben se ni zgodil, da bi padel pod 9 USD, ena pa nad 11 USD.

3. Obdelajte rezultat

Simulacija je prinesla porazdelitev hipotetičnih prihodnjih rezultatov. Z izidom bi lahko naredili več stvari.

Če želimo na primer oceniti VaR s 95-odstotno zanesljivostjo, moramo le poiskati osemindvajseti uvrščeni rezultat (tretji najslabši rezultat). To je zato, ker je 2/40 enaka 5%, zato sta dva najslabša rezultata v najnižjih 5%.

Če ilustrirane izide zložimo v smetnjake (vsak koš je tretjina 1 dolarja, torej tri zabojniki pokrivajo interval od 9 do 10 USD), dobimo naslednji histogram:

Slika 3

Ne pozabite, da naš model GBM prevzema normalnost; donosnosti cen se običajno porazdelijo s pričakovano donosnostjo (povprečno) "m" in standardnim odklonom "s". Zanimivo je, da naš histogram ne izgleda normalno. V resnici z več preizkušnjami ne bo težila k normalnosti. Namesto tega se bo nagibala k logaritmični distribuciji: ostri spust levo od srednje in močno nakrivljen "dolg rep" na desni od srednjega.

To pogosto vodi do zmede dinamike za študente, ki se prvič izobražujejo:

• Donosi na ceno so običajno razdeljeni.
• Ravni cen so običajno porazdeljene.

Razmislite o tem tako: Zaloga se lahko vrne navzgor ali navzdol za 5% ali 10%, vendar po določenem času cena zaloge ne more biti negativna. Poleg tega imajo povišanje cen na zgornji strani učinek sestavljanja, medtem ko znižanje cen ob slabi strani zmanjša osnovo: izgubite 10% in naslednjič vam ostane manj, da izgubite.

Tu je grafikon logormalne porazdelitve, ki temelji na naših ponazorjenih predpostavkah (npr. Izhodiščna cena 10 USD):

Slika 4

Spodnja črta

Simulacija Monte Carlo uporablja izbrani model (ki določa vedenje instrumenta) na velik nabor naključnih preskusov, da bi poskusili ustvariti verodostojen nabor možnih prihodnjih rezultatov. Kar zadeva simuliranje cen delnic, je najpogostejši model geometrijsko Brownovo gibanje (GBM). GBM predpostavlja, da stalen premik spremljajo naključni sunki. Medtem ko se donosi obdobja pod GBM običajno razdelijo, se posledične več-obdobne (na primer deset dni) ravni cen normalno razdelijo.